La Espiral Ascendente del Conocimiento
La Metodología de los Cinco Pasos
La metodología desarrollada por el grupo de investigadores de Mathematiké consta de cinco pasos, que son sucesivos, pero no se agotan ya que se recrean una y otra vez. Podríamos decir que su recorrido es circular pero no plano, que forma círculos cada vez más grandes y al mismo tiempo ubicados más alto. Es algo así como la espiral al estilo de Arquímedes en tres dimensiones, lo que la hace ascendente.
Si esta manera de proceder la aplicamos varias veces para la apropiación de conceptos en orden ascendente, generamos La Espiral Ascendente del Conocimiento.
Primer Paso. Contextualizar
Contextualizar, en el caso de la apropiación del conocimiento, significa ubicarlo en su contexto. De dónde viene y a dónde nos lleva, situarlo en su lugar y condiciones. Es también ubicar al individuo que lo estudia. La apropiación del conocimiento no puede darse si primero no se ubica claramente al conocimiento y al sujeto en su propio contexto. Contextualizar en la apropiación del conocimiento matemático en el salón de clase, es tarea exclusiva del maestro y se refiere a los conceptos que quiere enseñar. Consta de dos momentos.
Primer Momento. Ubicar en la espiral ascendente el concepto
El maestro ubica en la espiral ascendente del conocimiento los conceptos que expondrá a los alumnos. Es decir, los organiza de tal manera que el primer concepto que enseña es el conocimiento necesario para la apropiación del segundo y éste a su vez es necesario para el tercero y así sucesivamente. Ubicamos los conceptos en forma ascendente de acuerdo a los niveles de abstracción requeridos para su apropiación.
Antes de exponer el concepto el maestro debe verificar que el estudiante ya se ha apropiado de los conceptos previos que son el soporte necesario para continuar en el ascenso de la apropiación del conocimiento. Cuando el maestro prepara el concepto que expondrá en el salón de clases lo debe hacer teniendo en cuenta los conceptos que vendrán después. Es decir, cuando prepara el concepto 1 lo hace en función del concepto 2.
Contextualizar uno o varios conceptos
En el caso de los conceptos matemáticos es muy importante mencionar que un mismo concepto puede ser contextualizado a diferentes niveles en la espiral ascendente del conocimiento al ser combinado con otros conceptos. Es decir, el mismo concepto se aborda varias veces, pero cada vez con un grado mayor de sofisticación. Por ejemplo, en un primer nivel abordamos el concepto de número fraccionario, en un segundo nivel el de número fraccionario combinado con el concepto de suma, en un tercer nivel combinado con el concepto de la multiplicación, en un cuarto nivel con el de la división, y así sucesivamente.
Grupos de conceptos
Aritmética
- Dinámica básica del sistema de numeración decimal
- Suma
- Resta
- Multiplicación
- División
- Números fraccionarios
- Raíz cuadrada
- Geometría Volúmenes
- Conceptos selectos de aritmética
Álgebra 1
- Conjuntos
- Orden en la ejecución de las operaciones
- En álgebra no existe la resta sólo la suma
- Los números tienen su imagen
- Multiplicación y división de números reales
- Suma de números reales
- La letras representan números y dimensiones
- Las letras representan áreas
- Las letras representan volúmenes
- Concepto de ecuación
- Ecuaciones de primer grado
- Gráfica de una ecuación
- Proporciones
- Porcentaje
- Promedio
- Interés
Álgebra 2
- Álgebra de más de tres dimensiones
- Potencias algebraicas
- Cuadrado y raíz cuadrada
- Factorización
- Productos notables
- División de polinomios
- Multiplicación de fracciones algebraicas
- División de fracciones algebraicas
- Suma de fracciones algebraicas
- Estadística
- Permutaciones
- Combinaciones
- Probabilidad
Álgebra 3
- Solución de una ecuación
- Ecuaciones de primer grado
- Ecuaciones de segundo grado
- Gráfica de una ecuación
- Sistemas de ecuaciones
- Solución de sistemas de ecuaciones
- Sistemas de ecuaciones lineales
- Desigualdades de primer grado
- Sistemas de desigualdades lineales
- Valor absoluto
- Solución de ecuaciones con valor absoluto
- Trigonometría
- Ángulos y triángulos
- Triángulos rectángulos
- Teorema de Pitágoras
- Funciones trigonométricas
Álgebra 4
- La recta de los números reales
- Clasificación de los números
- Propiedades de los números reales
- Notación científica y logaritmos
- Teorema de Newton
- Ecuaciones de primer grado
- Ecuaciones de segundo grado
- Números complejos
- Ecuaciones con valor absoluto
- Ecuaciones de otros tipos
- Desigualdades
- Sistemas de desigualdades lineales
- Desigualdades de otros tipos
- Análisis de la gráfica de una ecuación
- La recta y el círculo
- Sistemas de ecuaciones
- Matrices y determinantes
- Fracciones parciales
La repetición de un mismo concepto en diferentes niveles no sólo le permite al estudiante repasar lo conocido, sino principalmente comprender con mayor claridad el proceso lógico interno que le da consistencia al desarrollo matemático.
Segundo Momento. Exponer al alumno al concepto
Se lleva a cabo en el salón de clase y consiste en exponer, presentar, platicar o mostrar, utilizando los recursos pedagógicos necesarios, el concepto ubicándolo claramente en su contexto.
El segundo momento de la contextualización es equivalente a explicar, utilizando los recursos pedagógicos necesarios, en qué país nos encontramos y dentro de este país, en qué ciudad y dentro de la ciudad, en qué colonia y dentro de la colonia, en qué calle, y finalmente dentro de la calle en qué casa, y una vez dentro de la casa la describimos con lujo de detalles, es decir componemos el lugar.
Segundo Paso. Experimentar-Entender
La palabra experimentar tiene varios significados. La ciencia positiva dice que es realizar una prueba bajo condiciones controladas para demostrar una verdad conocida, examinar la validez de una hipótesis o determinar la eficacia de algo previamente no probado.
En la pedagogía Mathematiké experimentar significa sentir, utilizar los sentidos y la imaginación para dejarnos afectar, no sólo con la razón sino con el ser entero.
Experimentar una realidad sensible involucra al ser completo y le permite entender al captar la unidad en la diversidad de datos a los que ha sido expuesto. Este segundo paso es responsabilidad del maestro y del alumno.
El maestro, utilizando el material didáctico conveniente, prepara una dinámica, un experimento, un trabajo, o un ejercicio, a través del desarrollo del cual el alumno utilizando sus sentidos, es decir involucrando su ser completo toma los datos de lo experimentado, entiende, concibe y formula. El maestro solamente prepara y asesora, es tarea exclusiva del alumno llevar a cabo el trabajo.
El alumno ha sido expuesto a una serie de datos que el maestro le mostró y ahora utilizando sus propios sentidos experimenta una realidad sensible, extrae los datos, inquiere e imagina, lo que le permite captar la unidad inteligible en esos datos y por lo tanto entender. El alumno al entender logra concebir el concepto y formularlo adecuadamente con sus propias palabras.
Usando la geometría como hilo conductor en el estudio de las matemáticas, es posible utilizar imágenes y material didáctico manipulable para la apropiación de algunos de los conceptos, especialmente los que se encuentran en los primeros niveles de abstracción, tanto de la aritmética como del álgebra.
Tercer Paso. Demostrar-Juzgar
Para que la apropiación del conocimiento sea completa, es decir se dé el conocimiento total, el alumno al formular con palabras el concepto se pregunta si es verdadero.
En este tercer paso el estudiante pasa de la reflexión a enumerar las condiciones necesarias para que este conocimiento sea verdadero, ordena las evidencias con las que cuenta lo que lo posibilita a demostrar y juzgar por él mismo el conocimiento.
Al terminar de realizar estas operaciones, podemos decir que ahora sí se ha dado la comprensión total. El individuo ha pasado del entender a la comprensión total.
En el caso de la apropiación del conocimiento matemático el alumno demuestra el concepto, usando las herramientas matemáticas que corresponden al nivel de abstracción en el cual se encuentra y lo juzga ubicándolo en su contexto y relacionándolo con otros conceptos y sus aplicaciones.
Este conocimiento que ha sido visto, oído, olido, gustado, tocado, entendido y demostrado es ahora parte del sujeto mismo, por eso ya no ve el mundo de igual manera, lo vislumbra distinto porque ha crecido.
Cuarto Paso. Aplicar-Crear
Una vez dado el tercer paso, es decir demostrar, juzgar, el sujeto actuará al respecto, ya que se ha constituido en una persona renovada, que al ver el mundo y su alrededor estancados, sin evolucionar, necesariamente, como parte de su propio dinamismo, los querrá cambiar y renovar. Una vez que el sujeto toma conciencia, fruto de su propia experiencia, de que sí es posible cambiar, surge en su interior una necesidad de renovar el mundo y su alrededor. Es algo así como la persona que renueva su ropa; al verse con un nuevo y elegante vestuario tiene la necesidad de actuar para renovar también sus zapatos. No puede haber un hombre nuevo que permanece impávido ante un mundo viejo, tiene que actuar para cambiarlo.
En el caso de la apropiación del conocimiento matemático, actuar significa aplicar los conceptos para crear, elaborar algoritmos, resolver problemas y plantear nuevos problemas que hacen necesario el estudio del siguiente concepto en nuestra espiral ascendente del conocimiento.
Un algoritmo es una "receta", al estilo de las de cocina, que consiste en un número determinado de pasos los cuales al seguirlos nos llevan a la solución de un problema matemático. El estudiante no recibe y acepta, haciendo un acto de fe, como verdadero un algoritmo y lo aplica sin entender lo que hace, sino que él mismo debe desarrollarlo o crearlo.
Es importante mencionar que en el planteamiento y solución de problemas matemáticos, es decir en la aplicación del o los conceptos apropiados, no basta solamente con que el alumno deduzca o cree el algoritmo correspondiente, sino que también es indispensable que desarrolle la habilidad y acumule la experiencia necesaria para el planteamiento y resolución de ese tipo de problemas. El alumno debe resolver el número y la variedad de problemas y ejercicios necesarios hasta que tenga la habilidad y la experiencia necesarias para plantear y resolver problemas del mismo tipo pero con mayor grado de dificultad.
Quinto Paso. Evaluar
En el dinamismo de la pedagogía Mathematiké la evaluación involucra tanto al maestro como al alumno y no sólo se refiere a los valores y al conocimiento que el sujeto se ha apropiado, sino también al proceso mismo que ha seguido para lograr esta apropiación.
La primera parte de la evaluación consiste en verificar si el estudiante se ha apropiado de los valores que nuestra filosofía humanista promueven y de los conceptos matemáticos estudiados y éstos los sabe aplicar adecuadamente al haber desarrollado la habilidad y acumulado la experiencia necesaria en el planteamiento y resolución de problemas. Para hacer esta evaluación contamos con un buen número de recursos: trabajos, participación en clase, exámenes personales y en grupo, etcétera.
La segunda parte es la evaluación del maestro mismo. Para hacer ésta utilizamos los datos proporcionados por los alumnos tanto en su propia evaluación como en el diálogo directo, respetuoso y transparente que el maestro y el alumno deben siempre tener.
La evaluación clara, sincera y sin engaños, le da a conocer al individuo lo mucho o poco que ha caminado y lo invita a re-iniciar el proceso completo, pero ya no empieza donde lo hizo la primera vez, sino un poco más arriba, y el círculo que ahora recorrerá será de mayor diámetro.
El sujeto ya se encuentra en la dinámica de la espiral ascendente del conocimiento.
La Espiral Ascendente del Conocimiento
El procedimiento de los cinco pasos se repite para cada uno de los conceptos o combinación de conceptos que el alumno debe apropiarse.
Una vez que realizamos los cinco pasos, hemos dado una vuelta en la espiral ascendente del conocimiento. La siguiente vuelta la daremos a una mayor altura y recorriendo un círculo más grande.
Al ir acomodando todos los conceptos de acuerdo a los niveles de abstracción, creamos la espiral ascendente del conocimiento.
La Metodología Mathematiké
La pedagogía Mathematiké propone una metodología o manera de proceder en el salón de clase para que el proceso de enseñanza-aprendizaje sea más eficiente.
A esta manera de proceder le llamamos La Espiral Ascendente del Conocimiento.
Queda entonces claro que una escuela pedagógica, como es la de Mathematiké, propone una metodología o manera de proceder e impulsa y quiere operativizar los valores que sustentan su marco filosófico referencial.
Usar la forma de proceder de Mathematiké para enseñar matemáticas es aplicar la metodología que este estilo propone, para permitir que la persona, apropiándose del conocimiento matemático, se promueva y se haga cada vez más libre, para que discerniendo con claridad los valores que promueven la mayor vida para los demás, construya un mundo más humano y más justo.
Ascender la Espiral del Conocimiento Matemático
Al ir ascendiendo los escalones de la escalera cuántica de la abstracción matemática, el estudiante no sólo se apropia de los conceptos, sino que también recrea los niveles anteriores.
Aquí, desde la altura a la cual se encuentra, observa el gran universo matemático que posibilita el avance tecnológico.
Aquí, desde esa altura, al estilo del águila que conquista la cumbre, goza la belleza del desarrollo intelectual de la humanidad.
Aquí, desde esa altura, es donde se da cuenta que las matemáticas son fruto de la creatividad, del ingenio y la imaginación humana, y que su propia creatividad, ingenio e imaginación se han visto desarrollados y potenciados fruto de la apropiación del conocimiento matemático.
Es a esa altura, donde el fin se vuelve origen, y el origen es principio que volverá a ser fin.
Las matemáticas emanan de la capacidad humana y la capacidad humana se potencia porque se apropia de lo que es suyo: las matemáticas.
Video de la Methología Mathematiké
Presentación del Proyecto Mathematiké (pdf)
Texto Completo de la Pedagogía Mathematiké (pdf)
Mathematiké
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